证：对任意正整数n,都有1/n+1 < ln(1+1/n)

题目

证：对任意正整数n,都有1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n .

答案

1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n
不妨令1/n为x,
即证
x/(x+1) < ln(1+x) 令f(t)=ln(1+t) 0<=t<=x
由拉格朗日中值定理得
存在ξ属于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0时最大,ξ=x时最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) < ln(1+x) 所以有1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n