高数 数列极限证明

题目

高数 数列极限证明
根据数列极限的定义证明：
lim(n方+a方)的平方根/n=1 （n趋于无穷)
limO.999.9=1 O.999.9是n个（n趋于无穷）

答案

1.
|√(n^2+a^2)/n-1|
=a^2/(n*[√(n^2+a^2)+n])
≤a^2/n
所以,对任意ε>0,当n>a^2/ε时,|√(n^2+a^2)/n-1|<ε
所以lim(n方+a方)的平方根/n=1 （n趋于无穷)
2.
|0.999...9-1|=1/10^n
所以对任意ε>0,当n>-lgε时,|0.999...9-1|<ε
所以limO.999.9=1 （n趋于无穷）