已知tan(α+β)/2=√6 /2,cotα·cotβ=7/13,求cos(α-β)的值

题目

已知tan(α+β)/2=√6 /2,cotα·cotβ=7/13,求cos(α-β)的值

答案

cotα·cotβ=7/13
tanαtanβ=13/7
令(α+β)/2=A,(α-β)/2=B
则A+B=α ,A-B=β ,tanA=√6/2
tanα=tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,
tanβ=tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ,
tanαtanβ
=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ×(t anA-tanB)/(1+tanAtanB)
=(√6/2+tanB)/(1-√6/2×tanB) ×(√6/2-tanB)/(1+√6/2×tanB)
=13/7
解得tanB=√5/5
所以,
tan(α-β)=tan2B=2tanB/(1-tan²B)=√5/2
cos²( α-β)=1/[1+tan²( α-β)]= 4/9
所以,
cos（α-β)=2/3