如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点． 求证：MN与PQ互相垂直平分．

题目

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分．

答案

证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM=MD，BP=PD，
∴PM=

1

2

AB，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB；
同理NQ=

1

2

AB，NQ∥AB，MQ=

1

2

DC，
∴PM=NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．（3分）
又∵AB=DC，∴PM=MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形．（5分）
∴MN与PQ互相垂直平分．（6分）