设矩阵A相似于对角矩阵diag(2,2,2,-2),则det(1/4A*+3I)

题目

设矩阵A相似于对角矩阵diag(2,2,2,-2),则det(1/4A*+3I)

答案

因为A相似于对角矩阵diag(2,2,2,-2)
所以A的特征值为 2,2,2,-2
|A| = -16
所以 A* 的特征值为(|A|/λ):-8,-8,-8,8
所以 1/4A*+3I 的特征值为 (1/4 λ + 3) :1,1,1,5
所以 det(1/4A*+3I) = 1*1*1*5 = 5.