如果一个n阶矩阵有n重特征根0,那么这个矩阵能相似对角化吗?

题目

如果一个n阶矩阵有n重特征根0,那么这个矩阵能相似对角化吗?
比如三阶矩阵A为
0 1 1
0 -1 -1
0 1 1
|λE-A|=λ^3
还有,那矩阵A的秩又算是多少?

答案

显然是不能的. 可以用反证法,设n阶矩阵A有n重特征根0,且能相似对角化,则必存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=对角阵(此对角阵与A具有相同的特征值,所以只能是0矩阵),这样就得出了A为零矩阵,显然是矛盾的. 最有一问, 矩阵A...