已知函数f（x）=asin[（1-a）x]+cos[（1-a）x]的最大值为2，则f（x）的最小正周期为（　　） A.π4 B.π2 C.π D.2π

题目

已知函数f（x）=

a

sin[（1-a）x]+cos[（1-a）x]的最大值为2，则f（x）的最小正周期为（　　）
A.

π

4

B.

π

2

C. π
D. 2π

答案

∵f（x）=

a

sin[（1-a）x]+cos[（1-a）x]=

a+1

sin[（1-a）x+φ]（tanφ=

a

a

），
∴f（x）_max=

a+1

，
∵f（x）_max=2，
∴

a+1

=2，
∴a=3．
∴f（x）=2sin（-2x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

|−2|

=π；
故选C．

利用辅助角公式可知，f（x）=

a

sin[（1-a）x]+cos[（1-a）x]=

a+1

sin[（1-a）x+φ]，依题意，可求得a=3，从而可求得f（x）的最小正周期．

本题考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查辅助角公式的应用，求得a=3是关键，突出考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．