设函数f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π).求函数的最小正周期和单调递增区间

题目

设函数f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π).求函数的最小正周期和单调递增区间

答案

f(x)=cos(2x+π/3)+[sin(x+π)]^2
f(x)=cos(2x)cos(π/3)-sin(2x)sin(π/3)+(sinx)^2
f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)+[1-cos(2x)]/2
f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)-(1/2)cos(2x)+1/2
f(x)=1/2-[(√3)/2]sin(2x)
可见,最小正周期是：2π/2=π
f(x)=1/2-[(√3)/2]sin(2x)
f'(x)=-(√3)cos(2x)
令：f'(x)＞0,即：-(√3)cos(2x)＞0
整理,有：cos(2x)＜0
可见：2kπ+π/2＜2x＜2kπ+3π/2,其中：k=0、±1、±2、±3……
解得：kπ+π/4＜x＜kπ+3π/4,
即：f(x)单调区间是：x∈(kπ+π/4,kπ+3π/4),其中：k=0、±1、±2、±3……