求证：关于x的一元二次不等式ax2-ax+1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4．

题目

求证：关于x的一元二次不等式ax²-ax+1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4．

答案

证明：ax²-ax+1＞0（a≠0）恒成立
⇔

a＞0 △＝a2−4a＜0

⇔0＜a＜4．
即关于x的一元二次不等式ax²-ax+1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4．

一元二次不等式ax²-ax+1＞0对一切实数x都成立，y=ax²-ax+1＞0的图象在x轴上方，

a＞0  △＜0

，由此能够求出a的取值范围，从而得到证明．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．