若在直线l上存在不同的三个点,使关于x的方程x^2向量OA+x向量OB+向量BC=向量0有解,(O不在l上),求实数解集

题目

若在直线l上存在不同的三个点,使关于x的方程x^2向量OA+x向量OB+向量BC=向量0有解,(O不在l上),求实数解集
x^2*OA+x*OB+BC=0
BC=-(x^2*OA+x*OB)
BC=OC-OB
OC-OB=-(x^2*OA+x*OB)
OC= - x^2*OA - x*OB + OB
因为三点共线
- x^2 - x* +1=1
- x^2 - x*=0
x(x+1)=0
x=0或1
因为x=0时三点重合,不符合题意,舍去
所以x=-1
为什么
OC= - x^2*OA - x*OB + OB
因为三点共线
所以- x^2 - x* +1=1

答案

喜欢你这种探讨式的提问,下面来证明当A,B,C共线时,O是直线外一点,若OB=xOA+yOC ,必有x+y=1

A,B,C共线,则AB=λAC AC是非零向量,λ是实数
OB-OA=λ(OC-OA) OB=(1-λ)OA+λOC X=1-λ Y=λ
所以 x+y=1