已知n阶方阵A,满足A^3+A^2-2A=0,I是n阶单位阵,证明矩阵A+I必可逆

题目

已知n阶方阵A,满足A^3+A^2-2A=0,I是n阶单位阵,证明矩阵A+I必可逆

答案

A^3+A^2-2A=0
A^2(A+I)-2A-2I=-2I
(A^2-2I)(A+I)=-2I
-1/2(A^2-2I)(A+I)=I
所以A+I可逆
逆阵是
-1/2(A^2-2I)