在三角形ABC中,若sin(2π-A)=-根号2(π-B),根号3cosA=-根号2cos(π-B),求三角形ABC的三个内角

题目

在三角形ABC中,若sin(2π-A)=-根号2(π-B),根号3cosA=-根号2cos(π-B),求三角形ABC的三个内角

答案

-sinA=-√2sinB,sinA=√2sinB
√3cosA=√2cosB,cosA=√(2/3)cosB
(sinA)^2+(cosA)^2=1
所以2(sinB)^2+(2/3)(cosA)^2=1
(4/3)(sinB)^2+(2/3)[(sinB)^2+(cosA)^2]=1
(4/3)(sinB)^2+(2/3)=1
(sinB)^2=1/4
三角形内角在0到180度之间
所以sinB>0
所以sinB=1/2,B=30度或150度
sinA=√2sinB=√2/2,A=45度或135度
若B=150度,则A+C=30度,和A=45度或135度矛盾
所以B=30度
所以cosB=√3/2
cosA=√(2/3)cosB=√2/2
所以A=45度
综上
A=45度
B=30度
C=105度