已知a,b,c,d为非零实数,c,d是方程x^2+ax+b=0的两个根,a和b是方程x^2+cx+d=0的两根,求a+b+c+d的值.已

题目

已知a,b,c,d为非零实数,c,d是方程x^2+ax+b=0的两个根,a和b是方程x^2+cx+d=0的两根,求a+b+c+d的值.已

答案

设S＝a＋b＋c＋d.
由方程有实根可知a^2－4b>＝0,c^2－4d>＝0
由韦达定理知：
对于第一个方程,
1》c＋d＝－a,
2》cd＝b；
对于第二个方程,
3》a＋b＝－c,
4》ab＝d.
由等式1和3知a＋c＋d＝a＋b＋c＝0
于是S＝b＝d
因此等式2变为：
cd＝d.
因为a,b,c,d为非零实数,
故得到c＝1
同理由等式4可得a＝1.
将a＝c＝1代回等式1,即得d＝－2
这样S＝－2（同时b＝－2）.
经判别式等检验可知这样求出的a,b,c,d符合题意.
所以a＋b＋c＋d＝－2