如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB＝PD＝2，E和F分别是CD和PC的中点． （1）求证：PA⊥底面ABCD； （2）求证：平面FBE∥平面

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB＝PD＝

2

，E和F分别是CD和PC的中点．

（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求证：平面FBE∥平面PAD；
（3）求三棱锥F-BCE的体积．

答案

（Ⅰ）证明：∵AB=AD=AP=1，PB＝PD＝

2

，
∴PA²+AD²=PD²，∴PA²+AD²=PD²，
∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
同理可得：PA⊥AB，AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD．
（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴ABED为平行四边形，
∴BE∥AD，
又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
由于EF是△PCD的中位线，∴EF∥DP，
同理得∴EF∥平面PAD，
又EF∩BE=E，
∴平面FBE∥平面PAD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，
由已知AP=1，F是PC的中点，得F到底面ABCD的距离为

1

2

PA＝

1

2

，
由已知AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=1，
S_△BCE=

1

2

×1×1＝

1

2

，
∴三棱锥F-BCE的体积V=

1

3

×

1

2

×

1

2

＝

1

12

．

（Ⅰ）利用已知可得PA²+AD²=PD²，PA²+AD²=PD²，利用勾股定理的逆定理可得PA⊥AD，PA⊥AB，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（II）利用已知条件可得ABED为平行四边形，得到BE∥AD；利用三角形的中位线定理可得EF∥DP，再利用面面平行的判定定理即可证明；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，又已知AP=1，F是PC的中点，得F到底面ABCD的距离为

1

2

PA＝

1

2

，利用三角形的面积公式得到△BCE的面积，利用三棱锥的体积公式得到三棱锥F-BCE的体积．

本题考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．

考点点评：本题综合考查了空间线面的平行与垂直的位置关系、三棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力和推理能力．