一道有关平面向量的高一数学题

题目

一道有关平面向量的高一数学题
O是平面上的坐标原点,A,B,C是平面上三点（不在一条直线上）.
且向量ab^2+向量oc^2=向量ac^2+向量ob^2=向量bc^2+向量oa^2
求证 o是三角形abc的垂心

答案

由已知“AB^2+OC^2=AC^2+OB^2”
逐步化简如下：
AB^2-AC^2=OB^2-OC^2
(AB+AC)*(AB-AC)=(OB+OC)*(OB-OC)
(AB+AC)*CB=(OB+OC)*CB
(AB+AC)*CB-(OB+OC)*CB=0
(AB+AC-OB-OC)*CB=0
[(AB-OB)+(AC-OC)]*CB=0
(AO+AO)*CB=0
2AO*CB=0
得到：AO*CB=0
故AO垂直于CB
同理可得：BO垂直于AC,CO垂直于BA
故O是三角形ABC的垂心