1.苹果、梨各有若干个,如果5个苹果和3个梨装一袋,那么梨正好装完,还多4个苹果；如果7个苹果和3个梨装一袋,苹果正好装完,梨还多12个.那么共有苹果和梨多少个?

题目

1.苹果、梨各有若干个,如果5个苹果和3个梨装一袋,那么梨正好装完,还多4个苹果；如果7个苹果和3个梨装一袋,苹果正好装完,梨还多12个.那么共有苹果和梨多少个?
2.将2009除以一个两位数,所得的余数为7,则满足条件的两位数共有多少个?
3.用四个数字构造一些数,若这些四位数中最大的数与最小的数之和为11359,则最小的四位数是什么?
4.有一队士兵,若3人一组,则余1人；若5人一组,则缺2人；若11人一组,则余3人.已知这队士兵不超过100人,那么这队士兵共有多少人?

答案

1、设苹果x个,梨y个,则有
5y/3+4=x
3x/7+12=y
解得：x=84,y=48
2、由题知,2009-7=2002应该能被该两位数整除.2002=2×7×11×13
∴满足条件的两位数共有6个,分别是11、13、14、22、26、77
3、设这四个数字分别为a、b、c、d,且a≥b≥c≥d
(1)假设d≠0,则最大的数为A=1000a+100b+10c+d,最小的数B=1000d+100c+10b+a,由题知A+B=1001a+110b+110c+1001d=1001(a+d)+110(b+c)=11359.观察式子1001(a+d)+110(b+c),不难发现110(b+c)对个位数9没有影响,因此a+d=9,进而得到b+c=21.4,矛盾；
(2)假设d=0,c≠0,则最大的数A'=A=1000a+100b+10c,最小的数为B'=1000c+100d+10b+a=1000c+10b+a,由题知A'+B'=1001a+110b+1010c=11359.同理a=9,则有110b+1010c=1000c+100b+10(b+c)=2350,易得b=3,c=2,则最小的数为2039；
(3)假设c=d=0,b≠0,则A''=1000a+100b,B''=1000b+a,由题知A''+B''=1001a+1100b=11359.同理a=9,得b=2.1,矛盾；
综上所述,最小的四位数只能是2039
4、设共有x人,由题知：x除11余3,加2后被5整除,则xx+2能被5整除,x-3能被11整除.由x+2能被5整除,得x+2的个位数必为0或5,即x-3的个位数为0或5.
不难发现,x-3应该能同时被11和5整除,又x-3≤97,∴x-3只能是55
∴x=58