设三阶矩阵A的三个特征值为1,1,2,且a1,a2,a3分别为对应的特征向量,则

题目

设三阶矩阵A的三个特征值为1,1,2,且a1,a2,a3分别为对应的特征向量,则
A a1,a2,a3必为2E-A的特征向量
B a1-a2必为矩阵2E-A的特征向量
C a1-a3必为矩阵2E-A的特征向量
D a1,a2必为矩阵2E-A的特征向量
a3不是
选什么?

答案

根据题设,a1,a2,a3满足(根据特征向量定义)
(A-E)a1 =0
(A-E)a2 =0
(A-2E)a3=0
对于矩阵2E-A,他的特征值为1,1,0(因为A-2E的特征值是A的特征值-2,为-1,-1,0,而2E-A的特征值为A-2E的相反数）
因此其特征向量满足
(2E-A -E)x=0
和
(2E-A)x=0
对比
(A-E)a1 =0
(A-E)a2 =0
(A-2E)a3=0
a1,a2,a3都是其特征向量,选A