求经过A(4,2),B(-1,3)两点,并在x轴上截距和为2的圆的方程

题目

求经过A(4,2),B(-1,3)两点,并在x轴上截距和为2的圆的方程

答案

直线AB方程：
y-2=[(3-2)/(-1-4)](x-4)
整理,得
y=(-1/5)x +14/5
AB的垂线与AB斜率互为负倒数,垂线斜率=-1/(-1/5)=5
设AB中点为M(xm,ym),则
xm=(4-1)/2=3/2 ym=(2+3)/2=5/2
圆过A、B两点,圆心在线段AB的垂直平分线上.
线段AB的垂直平分线方程：
y-5/2=5(x-3/2),整理,得y=5x-5
设圆心坐标(x0,5x0-5)
设圆半径为r
圆心到点A的距离的平方=r²=(x0-4)²+[(5x0-5)-2]²=26x0²-78x0+65
圆方程(x-x0)²+[y-(5x0-5)]²=26x0²-78x0+65
令y=0,整理,得
x²-2x0x+28x0-40=0
设方程两根为x1,x2,由截距和为2得x1+x2=2
由韦达定理得2x0=x1+x2=2
x0=1 5x0-5=0 r²=26-78+65=13
圆方程为(x-1)²+y²=13