数列{an}的前n项和记作Sn,满足 Sn=2an+3n-12(n∈N*) (Ⅰ)证明数列{an-3}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记bn=nan,数列{bn}的前n项和为Tn,求
题目
数列{an}的前n项和记作Sn,满足 Sn=2an+3n-12(n∈N*)
(Ⅰ)证明数列{an-3}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记bn=nan,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
答案
(Ⅰ)证明:把n=1代入S
n=2a
n+3n-12,
得a
1=2a
1+3-12,解得a
1=9,
当n≥2时,a
n=S
n-S
n-1=(2a
n+3n-12)-[2a
n-1+3(n-1)-12]=2a
n-2a
n-1+3
∴a
n-3=2a
n-1-6=2(a
n-1-3),
∵a
1-3=9-3=6,
∴{a
n-3}是首项为6,公比为2的等比数列.
∴a
n-3=6•2
n-1,
∴a
n=6•2
n-1+3=3(2
n+1).
(Ⅱ)∵b
n=na
n=3n(2
n+1)
∴T
n=3(1×2+2×2
2+3×2
3+…+n×2
n)+
,①
设A=1×2+2×2
2+3×2
3+…+n×2
n,
2A=1×2
2+2×2
3+3×2
4+…+n×2
n+2,
两式相减,得:A=n×2
n+1-(2+2
2+2
3+…+2
n)
=n×2
n+1-
=(n-1)•2
n+1+2,代入①式得
T
n=3[(n-1)•2
n+1+2)+
=3(n-1)•2
n+1+
+6.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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