设ξ1,ξ2为矩阵A的属于特征值λ1,λ2的特征向量.若λ1≠λ2,证明：ξ1+ξ2不是A的特征向量
题目
设ξ1,ξ2为矩阵A的属于特征值λ1,λ2的特征向量.若λ1≠λ2,证明：ξ1+ξ2不是A的特征向量
答案
证明：假设ξ1+ξ2是A是特征向量,由题意知：
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
Aξ1+Aξ2=λξ1+λξ2
而Aξ1=λ1ξ1；Aξ2=λ2ξ2
λ1ξ1+λ2ξ2=λξ1+λξ2
次式恒成立有
λ1=λ2=λ
与题设矛盾,所以假设不成立.
举一反三
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