设f(x)=tanx(1+sin2x+cos2x),（1） tan(α+π/4)=2,求f(α) .

题目

设f(x)=tanx(1+sin2x+cos2x),（1） tan(α+π/4)=2,求f(α) .
设f(x)=tanx(1+sin2x+cos2x),（1） tan(α+π/4)=2,求f(α) .
（2） 若f(β)=2,β∈[0,2π],求β

答案

f(x)=tanx(1+sin2x+cos2x)
=tanx(1+2sinxcosx+2cos²x-1)
=tanx(2sinxcosx+2cos²x)
=2sin²x+2sinxcosx
（1） tan(α+π/4)=2
tan(α+π/4)
=(tanα+1)/(1-tanα)=2
∴tanα=1/3
f(α)=2sin²α+2sinαcosα
=（2sin²α+2sinαcosα）/1
=（2sin²α+2sinαcosα）/(sin²α+cos²α)
分子分母同除cos²α得
=(2tan²α+2tanα)/(tan²α+1)
=4/5
（2）
f(β)=2,β∈[0,2π],
2sin²β+2sinβcosβ=2
sin²β+sinβcosβ=1
∵sin²β+cos²β=1
∴sinβcosβ=cos²β
∴cosβ(sinβ-cosβ)=0
β=π/2,3π/2
或β=π/4,5π/4