求当x趋近于正无穷大时lim（x+1/x-2)^X的极限值?

题目

求当x趋近于正无穷大时lim（x+1/x-2)^X的极限值?

答案

求当x趋近于正无穷大时lim[x+1/(x-2)]^X的极限值?
x→+∞lim[x+1/(x-2)]^x=x→+∞lim[(x²-2x+1)/(x-2)]^x=x→+∞lim[(x- 2+1/x)/(1-2/x)]^x=+∞
其中分母(1-2/x)→1,分子(x-2+1/x)→+∞.
如果分子是(x+1),则：
x→+∞lim[(x+1)/(x-2)]^x=x→+∞lim[1+3/(x-2)]^x
=x→+∞lim{[1+3/(x-2)]^[(x-2)/3]}³{[1+3/(x-2)]²}
=x→+∞lim{[1+3/(x-2)]^[(x-2)/3]}³{x→+∞lim[1+3/(x-2)]²}=e³