三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直,求证:顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心.
题目
三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直,求证:顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/503d269759ee3d6d6bf7417a40166d224f4ade4a.jpg)
证明:三棱锥P-ABC,在面PAB中任取一点M,过M作MD⊥PA,ME⊥PB,
∵三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直,
∴MD⊥平面PAC,ME⊥平面PBC,
∴MD⊥PC,ME⊥PC,MD∩ME=M,
∴PC⊥平面PAB,同理可证,PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC;
∵顶点P在底面的射影为O,
连接CO并延长交AB于C′,连接AO并延长交BC于A′,
∵PC⊥平面PAB,AB⊂平面ABC,
∴PC⊥AB,又PO⊥底面ABC,
∴PO⊥AB,又PC∩PO=P,
∴AB⊥平面PCC′,
∴AB⊥CC′;
同理可证,BC⊥AA′,
∴O是底面三角形的垂心.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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