四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.

四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.

题目
四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.
答案
由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0,
所以(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0,
即(a2-b22+(c2-d22+2(ab-cd)2=0.
因为a,b,c,d都是实数,
所以(a2-b22≥0,(c2-d22≥0,(ab-cd)2≥0,
a2b2=0                ①
c2d2=0                ②
ab−cd=0                 ③
 

由于a,b,c,d都为正数,所以,解①,②,③有
a=b=c=d.
故此四边形为菱形.
观察a4+b4+c4+d4=4abcd,运用完全平方式转化为(a2-b22+(c2-d22+2(ab-cd)2=0.运用非负数的性质,偶次方大于等于0.因此可解得a、b、c、d间的数值关系.因此可知四边形的形状.

因式分解的应用;非负数的性质:偶次方;菱形的判定.

本题考查因式分解的应用、非负数的性质、菱形的判定.解决本题的关键是将等式转化为多项平方和的形式,令其每项均大于等于0,解出a、b、c、d数值关系.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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