已知以向量v=(1,1/2)为方向向量的直线l过点(0,5/4),抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)设A、B是抛物线C上两个
题目
已知以向量
=(1,)为方向向量的直线l过点
(0,),抛物线C:y
2=2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N,若
•+p2=0(O为原点,A、B异于原点),试求点N的轨迹方程.
答案
(Ⅰ)由题意可得直线l:
y=x+ ①
过原点垂直于l的直线方程为 y=-2x ②
解①②得
x=−,即两直线的交点的横坐标为
x=−.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.
∴
−=−×2,p=2
∴抛物线C的方程为y
2=4x.
(Ⅱ)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),N(x,y),
由
•+p2=0,得x
1x
2+y
1y
2+4=0.
又
y12=4x1,
y22=4x2.
代入上式
+y
1y
2+4=0.
解得y
1y
2=-8
又直线ON:
y=x,即
y=x ∵y=y
1,∴y
1y
2=4x
∵y
1y
2=-8
∴x=-2(y≠0).
∴点N的轨迹方程为x=-2(y≠0).
(Ⅰ)先求直线l:
y=x+,再根据抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上,可得方程,从而可求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),N(x,y),根据
•+p2=0,用坐标表示,结合抛物线方程,即可求得点N的轨迹方程.
抛物线的简单性质;轨迹方程;抛物线的标准方程.
本题重点考查轨迹方程,考查抛物线的方程,考查向量知识,解题的关键是将向量关系转化为坐标之间的关系.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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