已知方程x^4+4x^3-5x^2-8x+6=0有两根和为零,解这个方程

题目

已知方程x^4+4x^3-5x^2-8x+6=0有两根和为零,解这个方程

答案

有两根和为零,设为a和-a
则(x-a)(x+a)是x^4+4x^3-5x^2-8x+6的因式
x^4+4x^3-5x^2-8x+6=(x^2-a^2)(x^2+bx+c)
=x^4+bx^3+(c-a^2)x^2-a^2bx-ca^2
所以b=4,c-a^2=-5,-a^2b=-8,-ca^2=6
-a^2b=-8
所以a^2=2
a=±√2
c-a^2=-5,c=-3
所以x^4+4x^3-5x^2-8x+6=0
(x^2-2)(x^2+4x-3)=0
x=√2,x=-√2,x=-2+√7,x=-2-√7