用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内1CM,问击第二次时能击入多深,假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.

题目

用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内1CM,问击第二次时能击入多深,假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.

答案

(√2-1)cm
铁锤两次打击铁钉时的速度相同
即动能相同
而这些能量是要全部传递给钉子的
木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比
故钉子钉入木板所需要的能量可以类比为弹簧的弹性势能Ek=kxx/2(x为弹簧形变量,弹力和形变成正比,k为劲度系数)
钉子钉入木板所需要的能量
w=khh/2 (h为钉入深度,k为阻力与深度比值)
第一次钉后,钉子消耗能量w
w=k×1×1/2 ①
第二次钉后,钉子消耗的能量2w
2w=k×h×h/2 ②
hh=2
h=√2
这个h是钉两次后达到的深度,故第二次的深度为
(√2-1)cm
Ps:这样类型的题目,严格地计算,是变力做功,要用到微积分
设阻力和深度的比值为k,深度为h
w=∫khdh
w=khh/2