如果3sinβ=sin(2α+β),且α,α+β≠kπ+π/2(k∈Z),求证tan(α+β)=2tanα

题目

如果3sinβ=sin(2α+β),且α,α+β≠kπ+π/2(k∈Z),求证tan(α+β)=2tanα

答案

令γ=α+β
则 3sin(γ-α)=sin(γ+α)
得 3sinγcosα-3cosγsinα=sinγcosα+cosγsinα
即 2sinγcosα=4cosγsinα
=>sinγ/cosγ=4sinα/2cosα
tanγ=2tanα
即 得证tan(α+β)=2tanα