在三角形ABC中,C=90度,且|CA|=|CB|=3 点M,N满足向量AM=向量MN=向量NB,则向量CM乘向量CN为

题目

在三角形ABC中,C=90度,且|CA|=|CB|=3 点M,N满足向量AM=向量MN=向量NB,则向量CM乘向量CN为

答案

∵｜向量CA｜＝｜向量CB｜＝3,∠C＝90°,∴｜向量AB｜＝3√2,且向量AC·向量BC＝0.
∵向量AM＝向量MN＝向量NB,∴向量AM＝（1/3）向量AB、向量BN＝－（1/3）向量AB.
∴向量CM·向量CN
＝（向量AM－向量AC）·（向量BN－向量BC）
＝［（1/3）向量AB－向量AC］·［－（1/3）向量AB－向量BC］
＝－（1/9）｜向量AB｜^2＋（1/3）向量AB·向量AC－（1/3）向量AB·向量BC＋0
＝－（1/9）×（3√2）^2＋（1/3）向量AB·（向量AC－向量BC）
＝－2＋（1/3）向量AB·（向量CB－向量CA）
＝－2＋（1/3）向量AB·向量AB
＝－2＋（1/3）｜向量AB｜^2
＝－2＋（1/3）×（3√2）^2
＝－2＋6
＝4.