高数题（极限存在准则,两个重要极限）

题目

高数题（极限存在准则,两个重要极限）
设数列{xn}由下式给出：X0＞0,Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn） （n=1,2,.）证明lim Xn 存在,求其值

答案

归纳法得xn≥1,n≥1时,｛xn｝有下界
X(n+1)－Xn＝1/2×(1+Xn)(1-Xn)/Xn≤0,所以｛Xn}单调减少
所以｛Xn}有极限,设极限是a
在Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn）两边取极限,a＝1/2(a+1/a),得a＝1（由极限的保号性,a＝－1舍去）