证明不等式:当0≤X
题目
证明不等式:当0≤X
当x >0时,x>In(1+x)
答案
设函数f(x)=arctanx,g(x)=x,x>0
f(0)=0,g(0)=0
f'(x)=1/(1+x²)>0,g'(x)=1>0
f'(x)-g'(x)=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)≤0即f'(x)≤g'(x)
f(x)与g(x)在左端点处的函数值相同,在[0,+∞)上f(x)与g(x)单调递增且f'(x)≤g'(x),所以有arctanx≤x,仅当x=0时取等号
设函数f(x)=x,g(x)=ln(1+x),x>0
f(0)=0,g(0)=0
f'(x)=1>0,g'(x)=1/(1+x)>0
f'(x)-g'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0即f'(x)>g'(x)
f(x)与g(x)在左端点处的函数值值相同,在(0,+∞)上f(x)与g(x)单调递增且f'(x)>g'(x),所以有x>ln(1+x)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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