已知A、B是抛物线X2=2PY（P》0）上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|求证：直线AB经过一定点

题目

已知A、B是抛物线X2=2PY（P》0）上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|求证：直线AB经过一定点

答案

非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|,x0d说明以向量OA,OB为邻边作平行四边形,它的两条对角线长相等.x0d即该四边形是矩形,则OA⊥OB.x0d设直线AB方程为x=my+n, 与抛物线y=2px联立消去x得：x0dy-2pmy-2pn=0.x0d设A(x1,y1),B(x2,y2).则 y1+y2=2pm,y1y2=-2pn.x0d因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.x0d即(my1+n)(my2+n) +y1y2=0.x0d(m+1)y1y2+mn(y1+y2)+n=0.x0d∴(m+1) （-2pn）+mn2pm+n=0x0d∴n-2pn =0,n=2p.x0d所以直线AB方程x=my+n可化为x=my+2p,x0d显然直线AB经过定点(2p,0).