已知a.b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(c+a)*(c-b)=0,则|c|的最大值是

题目

已知a.b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(c+a)*(c-b)=0,则|c|的最大值是

答案

以下所有字母都代表向量：
因为 (c+a)*(c-b)=0
所以 c²+(a-b)*c-ab=0,①
由 a⊥b==> ab=0
①式可化为：
c²=(b-a)c ②
设向量 （b-a)与向量c的夹角为θ
(b-a)c=|b-a|*|c|*cosθ ≤|b-a|*|c|
而 |b-a|=√(b²+a²-2ab)=√(1+1-0)=√2
所以
(b-a)c≤√2|c|再代入②得：
|c|²≤√2|c|
|c|(|c|-√2)≤0
0≤|c|≤√2
|c|(max)=√2