已知m、n属于R,且0

题目

已知m、n属于R,且0(1+n)^m

答案

两边取对数只需证：nln(1+m)>mln(1+n),即 ln(1+m)/m>ln(1+n)/n.
记函数f(x)=ln(1+x)/x,则 f'(x)=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2.
再令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x)=1-1/(x+1)-ln(1+x)
则 g'(x)=1/(x+1)^2-1/(1+x).
因为x>0,x+1>1,所以 1/(x+1)^2