过抛物线y^2=4x的准线与轴的交点E作直线交抛物线于A,B两点,F是抛物线焦点,若向量FA*向量FB=0.求直线AB的方程

题目

过抛物线y^2=4x的准线与轴的交点E作直线交抛物线于A,B两点,F是抛物线焦点,若向量FA*向量FB=0.求直线AB的方程

答案

已知F(1,0) E(-1,0)
设A(x1,y1) B(x2,y2)
若向量FA*向量FB=0
则FA⊥FB 其斜率之积=-1
即y1/(x1-1)*y2/(x2-1)=-1
y1*y2+x1x2-(x1+x2)+1=0 (1)
设AB的直线方程为y=k(x+1)代入y²=4x
k²x²+(2k²-4)x+k²=0
则由韦达定理x1+x2=4/k²-2 x1x2=1
已知AB在y²=4x上 则y1²=4x1 y2²=4x2
y1*y2=4√(x1x2)=4 (从图知y1y2>0)
以上代入(1)
4+1-4/k²-2+1=0
解得k=±1
所以直线AB的方程为y=x+1 或y=-x-1