已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R).(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间
题目
已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R).(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间
已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R)
(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(X)在[1,e]上的最小值
答案
证明:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x2-2lnx,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)=2(x2-1)x>0,
所以f(x)在(1,+∞)上是增函数. (5分)
(Ⅱ)f′(x)=2x2-ax(x>0),
当x∈[1,e],2x2-a∈[2-a,2e2-a].
若a≤2,则当x∈[1,e]时,f′(x)≥0,
所以f(x)在[1,e]上是增函数,
又f(1)=1,故函数f(x)在[1,e]上的最小值为1.
若a≥2e2,则当x∈[1,e]时,f′(x)≤0,
所以f(x)在[1,e]上是减函数,
又f(e)=e2-a,所以f(x)在[1,e]上的最小值为e2-a.
若2<a<2e2,则当1≤x<a2时,f′(x)<0,此时f(x)是减函数;
当a2<x≤e时,f′(x)>0,此时f(x)是增函数.
又f(a2)=a2-a2lna2,
所以f(x)在[1,e]上的最小值为a2-a2lna2.
综上可知,当a≤2时,f(x)在[1,e]上的最小值为1;
当2<a<2e2时,f(x)在[1,e]上的最小值为a2-a2lna2;
当a≥2e2时,f(x)在[1,e]上的最小值为e2-a.(13分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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