利用带皮亚诺余项的泰勒公式求极限 (X^3-x^2＋x^2/2)e^(1/x)-（1＋x^6）^(1/2)

题目

利用带皮亚诺余项的泰勒公式求极限 (X^3-x^2＋x^2/2)e^(1/x)-（1＋x^6）^(1/2)

答案

根据公式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+o(x^n)
可得（x^3-x^2+x/2)e^(x^-1)=x^3+1/6+1/12x+x^3o(x^-3)-x^2o(x^-3)+x/2o(x^-3)(展开至第四项）
故lim (原式）=lim [x^3+1/6-sqrt(1+x^6)+1/12x+x^3o(x^-3)-x^2o(x^-3)+x/2o(x^-3)]=lim[x^3+1/6-sqrt(1+x^6)]=lim (x^6+1/3*x^3+1/36-x^6-1)/[x^3+1/6+sqrt(1+x^6)]（分子有理化）
=lim [1/3-35/(36x^3)]/[1+1/(6x^3)+sqrt(1+1/x^3)]（上下同除以x^3）=(1/3)/2=1/6
(x趋于无穷大）