利用初等行变换求矩阵A=(2 -1 -1 1 2;1 1 -2 1 4;4 -6 2 -2 4;3 6 -9 7 9)的列向量组的一个最大无关组

题目

利用初等行变换求矩阵A=(2 -1 -1 1 2;1 1 -2 1 4;4 -6 2 -2 4;3 6 -9 7 9)的列向量组的一个最大无关组

答案

一、把矩阵A视为列向量,写成列向量组成的矩阵：
2,1,4,3,
-1,1,-6,6,
-1,-2,2,-9,
1,1,-2,7,
2,4,4,9,
二、交换第1行和第4行,不改变矩阵的秩：
1,1,-2,7,
-1,1,-6,6,
-1,-2,2,-9,
2,1,4,3,
2,4,4,9,
三、使用初等行变换,将矩阵进行运算：
把第一行加到第二行；把第一行加到第三行；把第一行乘以-2再加到第四行；把第一行乘以-2,再加到第五行,从而使得第一列的后几个元素为0：
1,1,-2,7,
0,2,-8,13,
0,-1,0,-6,
0,-1,8,-11,
0,2,8,-5,
四、继续进行行变换,把第二行乘以0.5再加到第三行,也加到第四行；把第二行乘以-1再加到第五行：
1,1,-2,7,
0,2,-8,13,
0,0,-4,0.5,
0,0,4,-4.5,
0,0,16,-18,
五、把第三行加到第四行上,把4倍第三行加到第五行上：
1,1,-2,7,
0,2,-8,13,
0,0,-4,0.5,
0,0,0,-4,
0,0,0,-16,
六、把-4倍第四行加到第五行：
1,1,-2,7,
0,2,-8,13,
0,0,-4,0.5,
0,0,0,-4,
0,0,0,0,
七、先1/2倍第二行,再去减第一行：
1,0,2,0.5,
0,1,-4,6.5,
0,0,-4,0.5,
0,0,0,-4,
0,0,0,0,
八、用第三行去减第二行：
1,0,2,0.5,
0,1,0,6,
0,0,-4,0.5,
0,0,0,-4,
0,0,0,0,
九、-1/4倍第三行,-1/4倍第四行：
1,0,2,0.5,
0,1,0,6,
0,0,1,-0.125,
0,0,0,1,
0,0,0,0,
十、2倍第三行去减第一行：
1,0,0,0.75,
0,1,0,6,
0,0,1,-0.125,
0,0,0,1,
0,0,0,0.
十一、矩阵经初等变换转化为阶梯矩阵后 非零行个数即为矩阵的秩,故秩为4；因为 4=秩