在三角形ABC和三角形DBC中,已知角ACB=角DBC=90度,E为BC的中点,DE垂直AB,垂足为F,且AB=DE,AC=4,求BF^2

题目

在三角形ABC和三角形DBC中,已知角ACB=角DBC=90度,E为BC的中点,DE垂直AB,垂足为F,且AB=DE,AC=4,求BF^2

答案

∵DE⊥AB
∴∠D+∠DBA＝90
∵∠ACB＝∠DBC＝90
∴∠ABC+∠DBA＝90
∴∠D＝∠ABC
∵AB＝DE
∴△ABC≌△DEB （AAS）
∴BE＝AC＝4,BC＝BD
∵E为BC的中点
∴BC＝2BE＝8
∴BD＝BC＝8
∴S△BDE＝BE×BD/2＝8×4/2＝16,DE＝√（BE²+BD²）＝√（16+64）＝4√5
又∵DE⊥AB
∴S△BDE＝DE×BF/2＝4√5×BF/2＝2√5BF
∴2√5BF＝16
∴BF＝8/√5
∴BF²＝64/5