△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形.求点O到三边AB,BC,CA的

题目

△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形.求点O到三边AB,BC,CA的
求点O到三边AB,BC,CA的距离比

答案

是求点O到三边AB,BC,CA的距离吗?
首先他们是相等的,三角形三个角的角平分线的交点是三角形的内心
三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
所以,先求面积S
设p=A+B+C/2=(20+30+40)/2=45（就是周长的一半）
根据公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√[45(45-20)(45-30)(45-40)]=75√15
这是S△ABC=75√15=S△ABO+S△ACO+S△BCO
再设AB,BC,CA为X,所以AB=BC=CA=X
S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=20X/2+40X/2+30X/2=75√15
X=（5√15）/3