(2011 德州）已知关于X的二次函数Y=aX^2+bX+c(a＞0)的图像经过点C（0,1),且与X轴交与不同的两点A,B

题目

(2011 德州）已知关于X的二次函数Y=aX^2+bX+c(a＞0)的图像经过点C（0,1),且与X轴交与不同的两点A,B
点A的坐标是（1,0）.
1 求C的值
2 求a的取值范围
3 该二次函数的图像与直线Y=1交与C,D两点,设A,B.C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0＜a＜1时,求证S1-S2为常数,并求出该常数.

答案

1.
将C(0,1)代入函数y=ax²+bx+c
得：1=0+0+c,即c=1
2.
将A(1,0)代入函数y=ax²+bx+1
得：0=a+b+1,即b=-1-a
∵函数与x轴有两个不同的交点
∴判别式△=b²-4a=(-1-a)²-4a=a²+2a+1-4a=a²-2a+1=(a-1)²>0
∴a-1≠0,即a≠1
3.y=ax²+(-1-a)x+1
利用求根公式：
x1=[-(-1-a)+√(a-1)²]/2a=(1+a+|a-1|)/2a=(1+a+1-a)/2a=1/a
x2=[-(-1-a)-√(a-1)²]/2a=(1+a-|a-1|)/2a=(1+a-1+a)/2a=1
∴B点坐标为(1/a,0),在点A的右侧
令y=1,则ax²+(-1-a)x+1=1,即(ax-1-a)x=0
则x=0或者x=(1+a)/a
则D点坐标为((1+a)/a,1)
则AB=1/a-1=(1-a)/a,CD=(1+a)/a
设AD所在直线为y=k1x+b1,BC所在直线为y=k2x+b2
将A、B、C、D代入上面2式,得：
AD直线：y=ax-a,BC直线：y=-ax+1
联立这两个直线,得：ax-a=-ax+1,即x=(1+a)/2a
代入y=-ax+1,得：y=(1-a)/2
则P点纵坐标为(1-a)/2
则P到CD距离h1为：1-(1-a)/2=(1+a)/2,P到AB的距离h2为：(1-a)/2
则S1-S2=1/2×CD×h1-1/2×AB×h2
=1/2×(1+a)/a×(1+a)/2-1/2×(1-a)/a×(1-a)/2
=(1+a)²/4a-(1-a)²/4a
=[(1+a)²-(1-a)²]/4a
=[1+a²+2a-1-a²+2a]/4a
=4a/4a
=1
即S1-S2=1