高中数学已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距

题目

高中数学已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距
已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e=√3/2焦点到椭圆上点的最短距离为√2-3,设直线l：y=kx+1与椭圆交于MN两点,当丨MN丨=8√2/5时,求直线l的方程

答案

e=c/a=根号3/2,又焦点到椭圆的最短距离是2-根号3,则有a-c=2-根号3
故有a=2,c=根号3,b^2=a^2-c^2=1
故椭圆方程是x^2/4+y^2=1
y=kx+1代入椭圆中有:x^2+4(k^2x^2+2kx+1)=4
(1+4k^2)x^2+8kx=0
x1=0,x2=-8k/(1+4k^2)
NM=根号(1+k^2)*|x1-x2|=根号(1+k^2)*|8k|/(1+4k^2)=8根号2/5
解得|k|=1
即直线方程是y=土x+1