已知函数f x=ax^2+1(a＞0),g(x)=x^3+bx

题目

已知函数f x=ax^2+1(a＞0),g(x)=x^3+bx
(1)若函数y=f x与曲线y=g(x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值

答案

∵具有公共切线,即交点（1,c）处导函数相等
∴分别对f（x）,g（x）求导
f'(x）=2ax
g‘（x）=3x²+b
则 f'（1）=2a=g’（1）=3+b
∴2a=b+3 （1）
又∵（1,c)分别在f(x),g(x)上
代入 f（1）=a+1=c
g（1）=1+b=c
∴ a=b （2）
由（1）（2）得到 a=b=3