已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R). (Ⅰ)当函数f(x)的图象过点(-1,0),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当x∈

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R). (Ⅰ)当函数f(x)的图象过点(-1,0),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当x∈

题目
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).
(Ⅰ)当函数f(x)的图象过点(-1,0),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)若F(x)=
f(x)x>0
−f(x)x<0
当mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数时,试判断F(m)+F(n)能否大于0?
答案
(Ⅰ)因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.(1分)
因为方程f(x)=0有且只有一个根,所以△=b2-4a=0.
所以b2-4(b-1)=0.即b=2,a=1.(3分)
所以f(x)=(x+1)2.(4分)
(Ⅱ)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1
=(x−
k−2
2
)2+1−
(k−2)2
4
.(6分)
所以当
k−2
2
≥2
k−2
2
≤−2
时,
即k≥6或k≤-2时,g(x)是单调函数.(9分)
(Ⅲ)f(x)为偶函数,所以b=0.所以f(x)=ax2+1.
所以F(x)=
ax2+1x>0
−ax2−1x<0.
(10分)
因为mn<0,不妨设m>0,则n<0.
又因为m+n>0,所以m>-n>0.
所以|m|>|-n|.(12分)
此时F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+1-an2-1=a(m2-n2)>0.
所以F(m)+F(n)>0.(14分)
(Ⅰ)根据f(-1)=0,可得a-b+1=0,再根据方程f(x)=0有且只有一个根,利用根的判别式再列出一个a和b的关系式,联立方程组即可解得a和b的值.
(Ⅱ)首先求出g(x)的函数关系式,然后根据函数的单调性进行解答,即可求出k的取值范围.
(Ⅲ)由f(x)为偶函数,求出b=0,设m>0,则n<0,又知m+n>0,故可得m>-n>0,最后把m和n代入求出F(m)+F(n)>0.

函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质;奇偶性与单调性的综合.

本题主要考查函数解析式的求法、函数单调性的性质和奇偶性与单调性综合运用的知识点,解答本题的关键是熟练掌握函数单调性的性质,利用奇偶性进行解题,此题难度不是很大.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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