若集合A={x|x^2+ax+b=0},B={x|x^2+cx+6=0},是否存在实数a,b,c,使A∪B=B且A∩B={2},

题目

若集合A={x|x^2+ax+b=0},B={x|x^2+cx+6=0},是否存在实数a,b,c,使A∪B=B且A∩B={2},
若存在,求出a,b,c的值；若不存在,说明理由

答案

若存在,则可得
x=2是A,B的子集
将其代入x^2+cx+6=0
有 4+2c+6=0
解得 c=-5
由 x^2-5x+6=0 得(x-2)(x-3)=0 解得 x=2或x=3
即 B={2,3}
根据题目知,方程x^2+ax+b=0只有唯一的解,x=2
故由 a^2-4b=0
将x=2其代入x^2+ax+b=0中
有 4+2a+b=0
由两式联立,a=-4 b=4
故存在这样的a,b,c的值使题目成立
其值为 a=-4 b=4 c=-5