已知函数f(x)=2的x次幂减1比上2的x次幂加1.

题目

已知函数f(x)=2的x次幂减1比上2的x次幂加1.
（1）判断f(x)的单调性,并加以证明.
（2）求f(x)的反函数.

答案

(1)y=(2^x-1)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1),容易发现为增函数.证明如下:
y'=2^(x+1)ln2/(2^x+1)^2>0,故结论成立.
证明亦可用定义完成.(略)
(2)先解出2^x=(1+y)/(1-y),所以有x=log2(1+y)/(1-y),
反函数为y=log2(1+x)/(1-x).