已知直线x+y=1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交A,B两点,且OA⊥OB（O为原点）,则1/a^2+1/b^2的值为

题目

已知直线x+y=1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交A,B两点,且OA⊥OB（O为原点）,则1/a^2+1/b^2的值为

答案

我用常规方法解的.
将直线代入椭圆方程,消去一个未知数Y（消X也可以）
整理后得到方程：(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0 (1式）
另设A（X1,Y1) B(X2,Y2)
因为OA垂直OB,所以向量OA与向量OB的数量积为零.
得到方程:x1x2+y1y2=0
又因为 y1=1-x1,y2=1-x2.
代入方程消去y得到 2x1x2-(x1+x2)+1=0 （2式）
从1式中再由韦达定理得到,
x1+x2=2a^2/a^2+b^2 (3式) x1x2=a^2(1-b^2) (4式)
将3,4两式代入2式中,经计算得到
1/a^2+1/b^2=1
计算过程就省略了.