设A、B是两个三阶方阵,且[A]=4,[B]=-1/2,求[-2A^T B^2]

题目

设A、B是两个三阶方阵,且[A]=4,[B]=-1/2,求[-2A^T B^2]
要求有解答过程

答案

首先,若M为n阶方阵,则|kM|=k^n|M|,所以|-2A^T B^2|=(-2)^3|A^T B^2|=-8|A^T B^2|；
其次,矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,所以|A^T B^2|=|A^T B B|=|A^T|*|B|*|B|=|A^T|(-1/2)(-1/2)=1/4|A^T|；
最后,转置不改变矩阵的行列式,所以|A^T|=|A|=4.
所以|-2A^T B^2|=(-8)(1/4)4=-8