在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G, 求证:AE=BG.

在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G, 求证:AE=BG.

题目
在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G,
求证:AE=BG.
答案
作EH⊥BC于H,如图,
∵E是角平分线上的点,EH⊥BC,EA⊥CA,
∴EA=EH,
∵AD为△ABC的高,EC平分∠ACD,
∴∠ADC=90°,∠ACE=∠ECB,
∴∠B=∠DAC,
∵∠AEC=∠B+∠ECB,
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE,
∴AE=AF,
∴EH=AF,
∵FG∥BC,
∴∠AGF=∠B,
在△AFG和△EHB中,
∠GAF=∠BEH
∠AGF=∠B
AF=EH

∴△AFG≌△EHB(AAS)
∴AG=EB,
即AE+EG=BG+GE,
∴AE=BG.
作EH⊥BC于H,根据角平分线定理得到EA=EH,利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC,根据三角形外角性质可推出∠AEC=∠B+∠ECB=∠DAC+∠ECA=∠AFE,则AE=AF,得到EH=AF,利用FG∥BC得到∠AGF=∠B,然后根据“AAS”可证得△AFG≌△EHB,再利用等量代换即可得到AG=EB.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等,对应角相等.也考查了角平分线定理.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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