如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.

如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.

题目
如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:CE=CF.
答案
证明:如图所示,顺时针旋转△ADE90°得到△ABG,连接CG.
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°,
∴B,G,D在一条直线上,
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°,
在△AGB与△CGB中,
AB=BC
∠ABG=∠CBG
BG=BG

∴△AGB≌△CGB(SAS),
∴AG=AC=GC=AE,
∴△AGC为等边三角形,
∵AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直),
∴∠AGB=30°,
∴∠EAC=30°,
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE=
180°-30°
2
=75°,
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°,
∴CE=CF.
把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG,从而可得B、G、D三点在同一条直线上,然后可以证明△AGB与△CGB全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=CG,所以△AGC为等边三角形,根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°,从而得解.

正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定与性质.

本题综合考查了正方形的性质,全等三角形的判定,以及旋转变换的性质,根据旋转变换构造出图形是解题的关键.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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